Potênciação e Radiciação

Radiciação

    Potenciação de Radicais

    Observando as potencias, temos que:

    

    

    De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

    

    Divisão de Radicais

    Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

    

    

    De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

     :  = 

    Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:

    

Racionalização de denominadores

Considere a fração:  que seu denominador é um número irracional.

Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por  , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente   possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denomindores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

Principais casos de racionalização:

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

  

  é o fator racionalizante de  , pois  .  =  = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

 é o fator racionalizante de 

  é o fator racionalizante de 

  é o fator racionalizante de 

    é o fator racionalizante de 

Potência com expoente racional

Observe as seguintes igualdades:

 ou 

Igualmente podemos transformar uma potência com expoente fracionário em um radical.

De modo geral, definimos:

 , com a  R,m,n,  N, a >0, n>0, m>0

Podemos também transformar um radical com expoente fracionário:

Propriedade das potências com expoentes racionais

As propriedades das potências com expoentes racionais são as mesmas para os expoentes inteiros.

Sendo a e b números reais e positivos e os expoentes números racionais, temos que:

Exemplo:

 

Matemática Zero - Aula 9 - Potenciação

http://www.youtube.com/watch?v=5tV-6W5_TLA

Matemática Zero - Aula 10 - Radiciação 

http://www.youtube.com/watch?v=K73GLTmT8Ys (Primeira Parte)

http://www.youtube.com/watch?v=c-cO01jXT7k (Segunda Parte)

http://www.youtube.com/watch?v=tuz3JHn88wY (Terceira Parte - Final)

Cartão de Confirmação do Enem 2011

http://enem.inep.gov.br/

PORCENTAGEM

    É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15%
  Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
  Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00
• Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
  Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
     

    Razão centesimal 

    Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

    Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

    

    As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais.

    Considere o seguinte problema:

    João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?
    Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

    Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

    Portanto, chegamos a seguinte definição:

Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.

    Exemplos:

• Calcular 10% de 300.
          
     
• Calcular 25% de 200kg.
          
  
  Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada.

    EXERCÍCIOS:

    1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

    

    Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

    2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida?

    Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00.

    

    Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

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    Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO.

    Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acréscimo ou Lucro	Fator de Multiplicação
10%	1,10
15%	1,15
20%	1,20
47%	1,47
67%	1,67

    Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00

    No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
    Fator de Multiplicação =  1 - taxa de desconto (na forma decimal)

    Veja a tabela abaixo:

Desconto	Fator de Multiplicação
10%	0,90
25%	0,75
34%	0,66
60%	0,40
90%	0,10

    Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00

Exercícios de Porcentagem

a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00?   b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x?   c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola?   d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original?   Calcule as porcentagens correspondentes: e) 2% de 700 laranjas f) 40% de 48 m g) 38% de 200 Kg h) 6% de 50 telhas i) 37,6% de 200 j) 22,5% de 60

Vídeo Didático

Curso: 1º Período de Matemática

Aluno:Argemiro Alves Otix

Vídeos didáticos

Conceito:

 vídeo didático é um produto específico, produzido com intenção didático pedagógica e que considera seu contexto de recepção como sendo especialmente a escola e a sala de aula, sendo, portanto, intrinsecamente diferente dos vídeos de documentários,entrevistas, reportagens, etc. Essa diferença pode ser de ordem discursiva (Coutinho, 1997) ou técnica, além de sua intencionalidade pedagógica, como nos mostram os trabalhos de Ferrés

1996, 1998, 2001) e Cabero (2001), entre outros. Os critérios de análise propostos envolvem a linguagem audiovisual e as características pedagógicas dos vídeos didáticos. Embora seja possível fazer um bom uso, em sala de aula, de vídeos “ruins” ou vídeos não produzidos especificamente para fins didáticos2, a escolha de um vídeo mal elaborado e com defeitos pode acabar com as pretensões do professor numa aula. vídeo didático pode (e deve) ser atrativo, despertar e prender a atenção do aluno pelo tema abordado, promover a aprendizagem e auxiliar na construção do conhecimento. O termo “didático” define sua especificidade e finalidade, e parece ser o termo preferível, quando nos referirmos a um material feito especificamente para apoio das atividades didáticas, embora saibamos que, a rigor, qualquer vídeo pode ser utilizado para

esse fim.

Tipos

Existem vários  vídeos que podem ser considerados didáticos, há um leque de variedades encontrados na TV e na Internet. São filmes, documentários, desenhos, programas de TV,vídeo aulas, entre outros, muitos  deles interdisciplinares, que trabalhados adicionado a outras ferramentas contribuem e muito para a construção da aprendizagem dos alunos. Vale lembrar que a utilização de vídeos didáticos, é um recurso a mais na metodologia do  educador, podendo este utilizar os recursos já existentes, de forma bem construída.

Classificações

A classificação de um vídeo vai de acordo com o nível de faixa etária dos alunos, e do que o professor pretende que os alunos aprendam ou construam assistindo aquele vídeo. É importante que o professor não desvincule o filme de sua proposta pedagógica e que enriqueça a aprendizagem de seu aluno de forma moral, social e cultural. Lembrando também, que o professor deve saber usar essa tecnologia para enriquecer sua aula, como um suporte pedagógico e não como uma ferramenta para que a aula acabe logo, ele deve motivar, trazer seus alunos para aula, mostrando o quanto é prazeroso retirar conhecimento não apenas de livros, mas de outros recursos.

APLICAÇÃO MATEMÁTICA NO DIA A DIA

Biografia
Hipátia era filha de Téon, um renomado filósofo, astrônomo, matemático, autor de diversas obras e professor em Alexandria.
Criada em um ambiente de idéias e filosofia, tinha uma forte ligação com o pai, que lhe transmitiu, além de conhecimentos, a forte paixão pela busca de respostas para o desconhecido. Diz-se que ela, sob tutela e orientação paternas, submetia-se a uma rigorosa disciplina física, para atingir o ideal helênico de ter a mente sã em um corpo são.
Hipátia estudou na Academia de Alexandria, onde devorava conhecimento: matemática, astronomia, filosofia, religião, poesia e artes. A oratória e a retórica também não foram descuidadas.
Quando adolescente, viajou para Atenas, para completar a educação na Academia Neoplatônica, onde não demorou a se destacar pelos esforços para unificar a matemática de Diofanto com o neoplatonismo de Amónio Sacas e Plotino, isto é, aplicando o raciocínio matemático ao conceito neoplatônico do Uno (mônada das mônadas).^[2] Ao retornar, já havia um emprego esperando por ela em Alexandria: seria professora na Academia onde fizera a maior parte dos estudos, ocupando a cadeira que fora de Plotino. Aos 30 anos já era diretora da Academia, sendo muitas as obras que escreveu nesse período.
Um dos seus alunos foi o notável filósofo Sinésio de Cirene (370 - 413), que lhe escrevia freqüentemente, pedindo-lhe conselhos. Através destas cartas, sabemos que Hipátia desenvolveu alguns instrumentos usados na Física e na Astronomia, entre os quais o hidrômetro.^[3]
Sabemos também que desenvolveu estudos sobre a Álgebra de Diofanto ("Sobre o Cânon Astronômico de Diofanto"), tendo escrito um tratado sobre o assunto, além de comentários sobre os matemáticos clássicos, incluindo Ptolomeu. Em parceria com o pai, escreveu um tratado sobre Euclides.
Ficou famosa por ser uma grande solucionadora de problemas. Matemáticos confusos, com algum problema em especial, escreviam-lhe pedindo uma solução. E ela raramente os desapontava. Obcecada pelo processo de demonstração lógica, quando lhe perguntavam porque jamais se casara, respondia que já era casada com a verdade.^[4]

Hipátia por Rafael

O seu fim trágico se desenhou a partir de 412, quando Cirilo foi nomeado Patriarca de Alexandria, título de dignidade eclesiástica, usado em Constantinopla, Jerusalém e Alexandria. Ele era um cristão intransigente, que lutou toda a vida defendendo a ortodoxia da Igreja e combatendo as heresias, sobretudo o Nestorianismo. ^[1]

[editar] Intolerância e fanatismo

O reinado de Teodósio (379-392) marca o auge de um processo de transformação do Cristianismo, que efetivamente se torna a religião oficial do estado.^[5] Em 391, atendendo pedido do então Patriarca de Alexandria, Teófilo, ele autorizou a destruição do Templo de Serápis, um vasto santuário pagão onde eram oferecidos sacrifícios de sangue, segundo os relatos dos historiadores contemporâneos Sozomeno e Tirânio Rufino.^[6]
Embora a legislação de 393 procurasse coibir distúrbios, surtos de violência popular entre cristãos e judeus tornaram-se cada vez mais frequentes em Alexandria, principalmente após a ascensão de Cirilo ao Patriarcado.

[editar] Morte

De acordo com o relato de Sócrates, o Escolástico ^[7], numa tarde de março de 415, quando regressava do Museu, Hipátia foi atacada em plena rua por uma turba de cristãos enfurecidos. Ela foi golpeada, desnudada e arrastada pelas ruas da cidade até uma igreja. No interior do templo, foi cruelmente torturada até a morte, tendo o corpo dilacerado por conchas de ostras (ou cacos de cerâmica, segundo outra versão). Depois de morta, o corpo foi lançado a uma fogueira.
Segundo o mesmo historiador, tudo isto aconteceu pouco tempo depois de Orestes, prefeito da cidade, ter ordenado a execução de um monge cristão chamado Amónio, acto que enfureceu o bispo Cirilo e seus correlegionários.^[8] Devido à influência política que Hipátia exercia sobre o prefeito, é bastante provável que os fiéis de Cirilo a tivessem escolhido como uma espécie de alvo de retaliação para vingar a morte do monge. Neste período em que a população de Alexandria era conhecida pelo seu caráter extremamente violento, Jorge de Laodiceia (m. 361) e Protério (m. 457), dois bispos cristãos, sofreram uma morte muito similar à de Hipátia: o primeiro foi atado a um camelo, esquartejado e os seus restos queimados; o segundo arrastado pelas ruas e atirado ao fogo. ^[9]
Dito isto, a eventual relação de Cirilo com o ocorrido continua a ser motivo de alguma controvérsia entre os historiadores. Embora Sócrates e Edward Gibbon afirmem que o episódio trouxe opróbrio para a Igreja de Alexandria, não mencionam qualquer envolvimento direto do patriarca.^[10] O filósofo pagão Damáscio, por sua vez, atribui explicitamente o assassinato ao patriarca, que invejaria Hipátia.^[11] Contudo, a Enciclopédia Católica lembra que Damáscio escreveu cerca de um século depois dos fatos e que os seus escritos manifestam um certo pendor anticristão.^[12] As últimas pesquisas crêem que o homicído de Hipátia resultou do conflito de duas facções cristãs: uma mais moderada, ao lado de Orestes, e outra mais rígida, seguidora de Cirilo.

PIADAS ENGRAÇADAS